初音ミクの消失

线段树总结

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2018/12/06 Share

线段树总结

引入:有一个数组data[1000000],如果有m个操作(m<=50000),操作如下:< strong>
  1. 修改一个数(加或减)
  2. 求l到r的所有元素的和

对于通常的题目,用一个sum[i]数组记录1~i的和,即可将任何的区间和在O(1)的时间之内求出。然而对于操作一,显然就显得很耗时间,至少会花费O(n),由此可以看出这样的做法是有一定缺陷的,由此线段树便产生了。

线段树是一种二叉搜索树,与区间树相似,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

我们从1~n的区间开始,依次往下二分加入更小的区间,直到区间长度为1

如图,这里的左闭右开区间类似于闭区间,表示的元素集合基本相同,我们看到,线段树并不是一个完全二叉树,但是十分类似于完全二叉树,由此可以得到线段树的一般存储方式,用完全二叉树进行存储。

操作1中,只能修改一个数,如果要修改线段树的整个区间,要添加n次数,大大增加了线段树的时间。

解决方法:定义一个lazy数组,当我们在遍历过程中,发现需要存储的区间已经包含了当前遍历的区间,我们就可以将需要修改的数值通过lazy暂存在此处,直到下一次我们还需要添加数或者在查找区间和时,再调用lazy,将更深处的sum值更新

这样就得到了添加元素的通用做法,将所有修改点的操作看作修改长度为1的区间,这样大大增加了算法的普适性

更紧凑的存储方式

刚刚提到线段树不完全属于完全二叉树,所以用堆的方式存储会引起内存的浪费,以下方式可以做到对内存的一定节省。

对于节点区间为[l,r)的结点,我们将其地址映射到(l+r-1)|( (r-1)!=1),其中(r-l)!=1用来判断r与l差值是否为1。可将使用的空间精确无误地映射到[0,2n-2]中

关于开数组的tips:

  1. 对于堆的开法,数组大小至少4n
  2. 对于紧凑的储存方式,可以适当开2n
Hdu 1166 敌兵布阵

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习,所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段,所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动,可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动,而Derek每次询问的段都不一样,所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数,很快就精疲力尽了,Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔,算得这么慢,我炒你鱿鱼!”Tidy想:“你自己来算算看,这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下,Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说:“死肥仔,叫你平时做多点acm题和看多点算法书,现在尝到苦果了吧!”Tidy说:"我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼,这么算他真的会崩溃的,聪明的读者,你能写个程序帮他完成这项工作吗?不过如果你的程序效率不够高的话,Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T,表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。
接下来每行有一条命令,命令有4种形式:
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人(j不超过30)
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人(j不超过30);
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j,表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束,这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问,输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1

10

12 3 4 5 6 7 8 9 10

Query1 3

Add3 6

Query2 7

Sub10 2

Add6 3

Query3 10

End

Sample Output

Case1:

6

33

59

#include<cstdio>
#define MAX 1000020
#define lson l,m,rt<<1 //左儿子
#define rson m+1,r,rt<<1|1 //右儿子
//闭区间线段树
int sum[MAX];
char str[10];
void PushUP(int rt) {
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
if(l==r){//区间长度为1
sum[rt]+=data;
return;
}
int m=(l+r)>>1;//取中点
if(p<=m) Revise(p,data,lson);//向左递归线段树
else Revise(p,data,rson);//向右递归线段树
PushUP(rt);//更新根节点的sum
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//[L,R]为查找的区间 ,[l,r]为当前遍历的区间
if(L<=l&&R>=r) //查找的区间包含遍历的区间
return sum[rt];
int m=(l+r)>>1,tot=0;
if(L<=m) tot+=Query(L,R,lson);
if(R>m) tot+=Query(L,R,rson);
return tot;
}

void build(int l,int r,int rt) {
if (l==r){
scanf("%d",&sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
PushUP(rt);//更新根节点的sum
}

int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int t,n,a,b;
scanf("%d",&t);
for(int i=1;i<=t;i++){
scanf("%d",&n);
/* for(int j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&a);
Revise(j,a,1,n,1);
}*/
build(1,n,1);
printf("Case %d:\n",i);
while(scanf("%s",str)!=EOF&&str[0]!='E'){
scanf("%d%d",&a,&b);
if(str[0]=='A') Revise(a,b,1,n,1);
else if(str[0]=='S') Revise(a,-b,1,n,1);
else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
}
}

return 0;
}

hdu 1754 I Hate It

Problem Description

很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问,从某某到某某当中,分数最高的是多少。

这让很多学生很反感。

不管你喜不喜欢,现在需要你做的是,就是按照老师的要求,写一个程序,模拟老师的询问。当然,老师有时候需要更新某位同学的成绩。

Input

本题目包含多组测试,请处理到文件结束。

在每个测试的第一行,有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 ),分别代表学生的数目和操作的数目。

学生ID编号分别从1编到N。

第二行包含N个整数,代表这N个学生的初始成绩,其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。

接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取’Q’或’U’) ,和两个正整数A,B。

当C为’Q’的时候,表示这是一条询问操作,它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中,成绩最高的是多少。

当C为’U’的时候,表示这是一条更新操作,要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

Output

对于每一次询问操作,在一行里面输出最高成绩。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

Q 1 5

U 3 6

Q 3 4

Q 4 5

U 2 9

Q 1 5

Sample Output

5 6 5 9

Hint

Huge input,the C function scanf() will workbetter than cin

线段树稍微变了一点点型,在更新每个结点的时候取最大值而不取和

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

using namespace std;
const int MAX=1000000;
int sum[MAX];
void PushUP(int rt){
sum[rt]=max(sum[rt<<1],sum[rt<<1|1]);
}

void Build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
scanf("%d",&sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
Build(lson);
Build(rson);
PushUP(rt);
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
int m=(l+r)>>1,maxx=-1;
if(L<=m) maxx=max(maxx,Query(L,R,lson));
if(R>=m+1) maxx=max(maxx,Query(L,R,rson));
return maxx;
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
if(l==r){
sum[rt]=data;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if(p<=m) Revise(p,data,lson);
else Revise(p,data,rson);
PushUP(rt);
}

int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int n,m,a,b; char c;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
memset(sum,0,sizeof(sum));
Build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
getchar();
c=getchar();
scanf("%d%d",&a,&b);
if(c=='U') Revise(a,b,1,n,1);
else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
}
}
}

poj 2299 题意: 求逆序对

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define MAX 500020
using namespace std;
int data[MAX],t[MAX],sum[MAX<<2];
bool flag[MAX];

void PushUP(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

int Find(int s,int e,int aim){
while(s<=e){
int mid=(s+e)>>1;
if(t[mid]==aim){
while(t[mid-1]==t[mid]){
flag[mid]=-1;
mid--;
}
return mid;
}
else if(t[mid]>aim) e=mid-1;
else s=mid+1;
}
}

void Revise(int p,int l,int r,int rt){
if(l==r){
sum[rt]+=1;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if(p<=m) Revise(p,lson);
else Revise(p,rson);
PushUP(rt);
}

long long View(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
int m=(l+r)>>1;
long long tot=0;
if(L<=m) tot+=View(L,R,lson);
if(R>=m+1) tot+=View(L,R,rson);
return tot;
}

int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int n; long long ans;
while(scanf("%d",&n)&&n){
memset(sum,0,sizeof(sum));
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&data[i]);
t[i]=data[i];
}
sort(t+1,t+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int f=Find(1,n,data[i]);
ans+=View(f+1,n,1,n,1);
Revise(f,1,n,1);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

POJ3468

Description

You have N integers, A1, A2, … , AN. Youneed to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add somegiven number to each number in a given interval. The other is to ask for thesum of numbers in a given interval.

Input

The first line contains two numbers N andQ. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.

The second line contains N numbers, theinitial values of A1, A2, … , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.

Each of the next Q lines represents anoperation.

“C a b c” means adding c to eachof Aa, Aa+1, … , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000.

“Q a b” means querying the sum ofAa, Aa+1, … , Ab.

Output

You need to answer all Q commands in order.One answer in a line.

Sample Input

10 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q 4 4

Q 1 10

Q 2 4

C 3 6 3

Q 2 4

Sample Output

4

55

9

15

题意:

给你N个数,Q个操作,操作有两种,‘Q a b ’是询问a~b这段数的和,‘Ca b c’是把a~b这段数都加上c。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
const int MAX=100020;
long long data[MAX],sum[MAX<<2],lazy[MAX<<2];

void PushUp(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void PushDown(int rt,int m){
if(lazy[rt]){//如果lazy存在
lazy[rt<<1]+=lazy[rt];//加lazy值
lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];
sum[rt<<1]+=(m-(m>>1))*lazy[rt];//左儿子所包含的数
sum[rt<<1|1]+=(m>>1)*lazy[rt];//右儿子所包含的数
lazy[rt]=0;
}
}

void Build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
scanf("%lld",&sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
Build(lson);
Build(rson);
PushUp(rt);
}

void Revise(int L,int R,int data,int l,int r,int rt){
if(l>=L&&r<=R){
lazy[rt]+=data;
sum[rt]+=data*(r-l+1);
return;
}
PushDown(rt,r-l+1);
int m=(l+r)>>1;
if(L<=m) Revise(L,R,data,lson);
if(R>=m+1) Revise(L,R,data,rson);
PushUp(rt);
}

long long View(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(l>=L&&r<=R) return sum[rt];
PushDown(rt,r-l+1);
int m=(l+r)>>1;
long long tot=0;
if(L<=m) tot+=View(L,R,lson);
if(R>m) tot+=View(L,R,rson);
return tot;
}

int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int n,q,a,b,c;
scanf("%d%d",&n,&q);
Build(1,n,1);
for(int i=1;i<=q;i++){
getchar();
if(getchar()=='C'){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
Revise(a,b,c,1,n,1);
}else{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",View(a,b,1,n,1));
}
}
return 0;
}

原文作者:mrh929

原文链接:https://mrh1s.top/posts/852a3205/

发表日期:December 6th 2018, 11:46:09 pm

更新日期:May 5th 2019, 1:32:45 pm

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