线段树总结

发布于 2018-12-06  54 次阅读


 

线段树总结

引入:有一个数组data[1000000],如果有m个操作(m<=50000),操作如下:

  1. 修改一个数(加或减)
  2. 求l到r的所有元素的和

 

对于通常的题目,用一个sum[i]数组记录1~i的和,即可将任何的区间和在O(1)的时间之内求出。然而对于操作一,显然就显得很耗时间,至少会花费O(n),由此可以看出这样的做法是有一定缺陷的,由此线段树便产生了。

 

线段树是一种二叉搜索树,与区间树相似,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

我们从1~n的区间开始,依次往下二分加入更小的区间,直到区间长度为1

 

如图,这里的左闭右开区间类似于闭区间,表示的元素集合基本相同,我们看到,线段树并不是一个完全二叉树,但是十分类似于完全二叉树,由此可以得到线段树的一般存储方式,用完全二叉树进行存储。

 

操作1中,只能修改一个数,如果要修改线段树的整个区间,要添加n次数,大大增加了线段树的时间。

解决方法:定义一个lazy数组,当我们在遍历过程中,发现需要存储的区间已经包含了当前遍历的区间,我们就可以将需要修改的数值通过lazy暂存在此处,直到下一次我们还需要添加数或者在查找区间和时,再调用lazy,将更深处的sum值更新

这样就得到了添加元素的通用做法,将所有修改点的操作看作修改长度为1的区间,这样大大增加了算法的普适性

 

更紧凑的存储方式

刚刚提到线段树不完全属于完全二叉树,所以用堆的方式存储会引起内存的浪费,以下方式可以做到对内存的一定节省。

对于节点区间为[l,r)的结点,我们将其地址映射到(l+r-1)|( (r-1)!=1),其中(r-l)!=1用来判断r与l差值是否为1。可将使用的空间精确无误地映射到[0,2n-2]中

 

关于开数组的tips:

  1. 对于堆的开法,数组大小至少4n
  2. 对于紧凑的储存方式,可以适当开2n

Hdu 1166 敌兵布阵

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习,所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段,所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动,可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动,而Derek每次询问的段都不一样,所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数,很快就精疲力尽了,Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔,算得这么慢,我炒你鱿鱼!”Tidy想:“你自己来算算看,这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下,Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说:“死肥仔,叫你平时做多点acm题和看多点算法书,现在尝到苦果了吧!”Tidy说:"我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼,这么算他真的会崩溃的,聪明的读者,你能写个程序帮他完成这项工作吗?不过如果你的程序效率不够高的话,Tidy还是会受到Derek的责骂的.

 

Input

第一行一个整数T,表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。
接下来每行有一条命令,命令有4种形式:
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人(j不超过30)
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人(j不超过30);
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j,表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束,这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

 

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问,输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

 

Sample Input

1

10

12 3 4 5 6 7 8 9 10

Query1 3

Add3 6

Query2 7

Sub10 2

Add6 3

Query3 10

End

 

Sample Output

Case1:

6

33

59

 

#include
#define MAX 1000020
#define lson l,m,rt<<1 //左儿子 
#define rson m+1,r,rt<<1|1 //右儿子 
//闭区间线段树 
int sum[MAX];
char str[10];
void PushUP(int rt) {
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
    if(l==r){//区间长度为1 
        sum[rt]+=data;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;//取中点 
    if(p<=m) Revise(p,data,lson);//向左递归线段树 
    else Revise(p,data,rson);//向右递归线段树 
    PushUP(rt);//更新根节点的sum 
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//[L,R]为查找的区间 ,[l,r]为当前遍历的区间 
    if(L<=l&&R>=r) //查找的区间包含遍历的区间
        return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1,tot=0;
    if(L<=m) tot+=Query(L,R,lson);
    if(R>m) tot+=Query(L,R,rson);
    return tot;
}

void build(int l,int r,int rt) {
    if (l==r){
        scanf("%d",&sum[rt]);
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUP(rt);//更新根节点的sum 
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int t,n,a,b;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        scanf("%d",&n);
/*       for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a);
            Revise(j,a,1,n,1);
        }*/
        build(1,n,1);
        printf("Case %d:\n",i);
        while(scanf("%s",str)!=EOF&&str[0]!='E'){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(str[0]=='A') Revise(a,b,1,n,1);
            else if(str[0]=='S') Revise(a,-b,1,n,1);
            else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
        }
    }
    
    return 0;
}

 

hdu 1754   I Hate It

Problem Description

很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问,从某某到某某当中,分数最高的是多少。

这让很多学生很反感。

 

不管你喜不喜欢,现在需要你做的是,就是按照老师的要求,写一个程序,模拟老师的询问。当然,老师有时候需要更新某位同学的成绩。

 

Input

本题目包含多组测试,请处理到文件结束。

在每个测试的第一行,有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 ),分别代表学生的数目和操作的数目。

学生ID编号分别从1编到N。

第二行包含N个整数,代表这N个学生的初始成绩,其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。

接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取'Q'或'U') ,和两个正整数A,B。

当C为'Q'的时候,表示这是一条询问操作,它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中,成绩最高的是多少。

当C为'U'的时候,表示这是一条更新操作,要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

 

Output

对于每一次询问操作,在一行里面输出最高成绩。

 

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

Q 1 5

U 3 6

Q 3 4

Q 4 5

U 2 9

Q 1 5

 

Sample Output

5 6 5 9

Hint

Huge input,the C function scanf() will workbetter than cin

线段树稍微变了一点点型,在更新每个结点的时候取最大值而不取和

 

#include
#include
#include
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

using namespace std;
const int MAX=1000000;
int sum[MAX];
void PushUP(int rt){
    sum[rt]=max(sum[rt<<1],sum[rt<<1|1]);
}

void Build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        scanf("%d",&sum[rt]);
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    Build(lson);
    Build(rson);
    PushUP(rt);
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1,maxx=-1;
    if(L<=m) maxx=max(maxx,Query(L,R,lson));
    if(R>=m+1) maxx=max(maxx,Query(L,R,rson));
    return maxx;
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        sum[rt]=data;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m) Revise(p,data,lson);
    else Revise(p,data,rson);
    PushUP(rt);
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m,a,b; char c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        Build(1,n,1);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            getchar();
            c=getchar();
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(c=='U') Revise(a,b,1,n,1);
            else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
        }
    }
}